Conjuntos Numéricos

A história dos números está diretamente ligada à própria história do homem pela necessidade de dimensionar os fenômenos com
os quais se relaciona.
Assim, as técnicas de contagens, medidas, e cálculos foram gradativamente impondo a necessidade de se criarem sistemas simbólicos que representassem a quantificação de grandezas e valores.
Os conjuntos numéricos são compostos por, números naturais, representados por N, números inteiros, representados por Z, números racionais, representados por Q, e números reais, representados por R, também há os conjuntos dos números irracionais, representados por I, e os conjunto dos números complexos, representados por C.
O conjunto dos números naturais,são compostos por N={0,1,2,3,4,...}, números inteiros que tem um sucessor, ou seja, o sucessor de 1 é 2, assim por diante infinitamente. Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem, o número (zero) 0,também faz parte dos números naturais, sendo que alguns estudiosos não consideram o zero como natural porque, historicamente , surgiu da necessidade de preencher as casa vazias na expressão de um número, ou seja, não como número, e sim como algarismo em um sistema de numeração posicional; podemos usar o símbolo (*) para indicar a exclusão do elemento 0 (zero), de qualquer conjunto numérico. Assim, para o conjunto dos naturais podemos escrever: N*={1,2,3,4,...}.
O conjunto dos números inteiros, veio após os números naturais, surgiu a necessidade de adicionar aos números naturais os negativos, portanto os números inteiros pode ser escrito por, infinito Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. A necessidade de utilizar os números inteiros, veio com a necessidade de fazer a subtração de um número natural sendo seu resultado um número negativo.
É comum usar o símbolo (+) para a exclusão dos negativos e (-)para a exclusão dos positivos. Dessa maneira, podemos escrever alguns subconjuntos de Z:
Z₊ = {0,1,2,3,4,...} = N
Z₋ = {...,-3,-2,-1,0}
Z˟ = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}
Z˟₊ = {1,2,3,4,...}
Z˟₋ = {...,-4,-3,-2,-1}
Os conjunto dos números racionais, veio da divisão de dois números inteiros, sendo o resultado um número decimal finita ou periódica.
Por exemplo, ⅜ é número racional e é o mesmo que 0,375.
1/9 é numero racional e é o mesmo que 0.111111...
Observe que na divisão continuada do numerador p pelo denominador q, só podem ocorrer q restos diferentes, daí a periodicidade.
2/₇ = 0,285714285...
4/13 =0,307692307...
Efetue a divisão com vários números para constar.
Genericamente, podemos escrever que:
Q = {x | x = p/q ; p ͼ Z, q ͼ Z˟}
A lera Q vem da palavra quociente.
Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma p/1, (p ͼ Z). Logo Z ᴄ Q.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Admitem-se também as notações Q₊, Q₋, Q˟, para subconjunto de Q.
Os conjuntos dos número reais, são o modelo matemático para expressar as medidas. Formam um conjunto de números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou decimal infinita e periódica ou decimal infinita e não periódica, tem-se um número irracional.
Todo número racional é um número real. Portanto, Q ᴄ R.
Veja alguns exemplos de números reais que são irracionais:
Raiz quadrada de dois:
√2 = 1,4142135623730950488016887242097...
Pi:
ᴫ = 3,1415926535897932384626433832795...
Número de ouro:
(1+√5)/2 = 1,618033988749894848204...
Admitem-se também para os números reais as notações R˟,R+,R-, R˟-,e R˟+.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalos
Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número x ͼ R a um ponto de uma reta R. Assim, se convencionarmos uma origem 0 (zero), associando a ela o zero, adotarmos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada:
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
e = 2,7182188
ᴫ = 3,1415926...
Seja a e b números reais com a < b. Os subconjuntos de R a seguir são chamados intervalos.
Os intervalos são divididos em dois tipos, os intervalos limitados e os intervalos ilimitados.
Os intervalos limitados, são compostos por:
Intervalo fechado - Números reais maiores do que a ou iguais a a e menores do que b ou iguais a b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: [a,b] Conjunto: {x ͼ R|a=< x =<b}
Intervalo aberto - Número reais maiores que do que a e menores do que b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: ]a,b[ Conjunto: {x ͼ R | a< x <b}
Intervalo fechado à esquerda - Números reais maiores do que a ou iguais a a e menores do que b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: [a,b[ Conjunto: {x ͼ R | a=< x <b}
Intervalo fechado à direita - Números reais maiores do que a e menores do que b ou iguais a b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: ]a,b] Conjunto: { x ͼ R | a< x =<b}
Os intervalos ilimitados, são compostos por:
Semi-reta esquerda, fechada, de origem b - Números reais menores do que b ou iguais a b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: ]-∞,b] Conjunto: {x ͼ R | x =<b}
Semi-reta esquerda, aberta, de origem b - Números reais menores do que b.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: ]-∞,b[ Conjunto: {x ͼ R | x <b}
Semi-reta direita, fechada, de origem a - Números reais maiores do que a ou iguais a a.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: [a,+∞[ Conjunto: {x ͼ R | x >=a}
Semi-reta direita, aberta, de origem a - Números reais maiores do que a.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo:]a,+∞[ Conjunto: {x ͼ R |x >a}
Reta numérica - Números reais.
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]
Intervalo: ]-∞,+∞[ Conjunto: R